Définitions :
Soit
f une
fonction définie sur un intervalle I de ℝ.
Soit
C sa courbe représentative.
Fonction croissante :
f est une fonction
croissante sur I si pour tous nombres réels a et b de I, on a :
Si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b)
Exemple :
La courbe représentative d'une fonction croissante «monte de gauche à droite».
Une fonction croissante conserve l'ordre.
Fonction décroissante :
f est une fonction
décroissante sur I si pour tous nombres réels a et b de I, on a :
Si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b)
Exemple :
La courbe représentative d'une fonction décroissante «descend de gauche à droite».
Une fonction décroissante change l'ordre.
Extremum d'une fonction :
Soit
f une
fonction définie sur un intervalle I de ℝ
et a un nombre réel de I.
Définitions :
• f(a) est le
maximum de f sur I si
f(x) ≤ f(a) pour tout x de I.
• f(a) est le
minimum de f sur I si
f(x) ≥ f(a) pour tout x de I.
• f(a) est un
extremum de f sur I si f(a) est un
maximum ou un
minimum.
Exemple :
La courbe
C ci-dessous représente une fonction f définie sur [-4;5].
Le point A(-2;4) est le plus «haut» de la courbe sur [-4;5]. Le maximum de f sur [-4;5] est 4 atteint en -2.
Le point B(3;-1) est le plus «bas» de la courbe sur [-4;5]. Le minimum de f sur [-4;5] est -1 atteint en 3.
Tableau de variations :
Soit
f une
fonction définie sur un intervalle I de ℝ.
On peut résumer les variations de f dans un
tableau de variations.
Exemple :
La courbe
C ci-dessous représente une fonction f définie sur [-5;5].
Tableau de variations de f
Résolution graphique d'inéquations :
Soient
f et
g deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ. On note
Cf et
Cg leur courbe représentative dans un repère du plan.
1) Inéquations du type f(x)>k (avec k réel).
Soit k ∈ ℝ. Les solutions de l'inéquation f(x) > k (respectivement f(x) < k )sont les abscisses des points de la courbe
Cf situés au-dessus (respectivement en dessous) de la droite d'équation y=k.
Exemple : Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)>2
Les solutions de l'inéquation f(x)>2 sont les abscisses des points de la courbe
Cf situés au-dessus la droite d'équation y=2. L'ensemble solution S
1 de cette inéquation est donc S
1=]-4;-1[∪]4;5].
Remarque : les nombres -4; -1 et 4 sont exclus de l'ensemble solution car f(x) doit être strictement supérieur à 2 et f(-4)=f(-1)=f(4)=2.
2) Inéquations du type f(x)>g(x).
Les solutions de l'inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la courbe
Cf situés au dessus de
Cg.
Exemple : Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ≥ g(x)
La courbe
Cf est au-dessus de la courbe
Cg sur l'intervalle [-3;1]. L'ensemble solution S
2 de cette inéquation est donc S
2=[-3;1].
Tableau de signes :
Soit
f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et
Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
• f(x)>0 si et seulement si le point M(x;f(x)) est au-dessus de l'axe des abscisses.
• f(x)<0 si et seulement si le point M(x;f(x)) est en dessous de l'axe des abscisses.
On résume le signe d'une fonction dans un tableau de signes.
Exemple : Donner le tableau de signes de la fonction f représentée ci-dessous.