Cours : Taux d'évolution

Taux d'évolution :

Soit t un nombre positif.

Augmentation en pourcentage.

Augmenter un nombre de t%, c'est le multiplier par

1 + \frac{t}{100}

. Le nombre

1 + \frac{t}{100}

est appelé coefficient multiplicateur associé à l'augmentation de t%.

Si V_D désigne la valeur de départ et V_A, la valeur d'arrivée, on a :

V_{A} = V_{D} \times (1 + \frac{t}{100})

Schéma récapitulatif :

Diminution en pourcentage.

Diminuer un nombre de t%, c'est le multiplier par

1 - \frac{t}{100}

. Le nombre

1 - \frac{t}{100}

est appelé coefficient multiplicateur associé à la diminution de t%.

Si V_D désigne la valeur de départ et V_A, la valeur d'arrivée, on a :

V_{A} = V_{D} \times (1 - \frac{t}{100})

Schéma récapitulatif :

Exemples :
• Un téléviseur coûte 150€. Son prix augmente de 8%. Quel est le nouveau prix ?
Réponse : Le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation de 8% est

1 + \frac{8}{100} = 1,08

, le nouveau prix est donc égal à 150 × 1,08, soit 162€.

• Une téléphone coûte 120€. Son prix diminue de 15%. Quel est le nouveau prix ?
Réponse : Le coefficient multiplicateur associé à la diminution de 15% est

1 - \frac{15}{100} = 0,85

, le nouveau prix est donc égal à 120 × 0,85, soit 102€.

Evolutions successives :

Le coefficient multiplicateur correspondant à des évolutions successives est le produit des coefficients multiplicateurs correspondants aux différentes évolutions.

Soient t₁ et t₂ deux nombres réels.
Si une valeur V₀ subit une évolution de t₁% suivie d'une évolution de t₂%, le coefficient multiplicateur global est égal eu produit des coefficients multiplicateurs :

{CM}_{global} = {CM}_{1} × {CM}_{2}

Schéma récapitulatif :

Le taux d'évolution global est donc égal à : t_global = (CM_global - 1)×100

Exemple :
• Le prix d'un produit subit successivement : une hausse de 10%, une baisse de 30% et une hausse de 35%. Quelle évolution global le prix de ce produit a-t-il subi ?
Réponse : Le coefficient multiplicateur de ces évolutions est égal à : 1,1 × 0,7 × 1,35 = 1,0395, ce qui correspond à une hausse de 3,95%

Evolution réciproque :

L’évolution réciproque d’une évolution de la valeur V₀ à la valeur V₁ est l’évolution de la valeur V₁ à la valeur V₀.
Le coefficient multiplicateur d'une évolution réciproque est égal à l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution directe.

Soient t un nombre réel.
Si une valeur V₀ subit une évolution de t% et devient la valeur V₁, le coefficient multiplicateur permettant de passer de V₀ à V₁ est : CM =

1 + \frac{t}{100}

. Alors, le coefficient multiplicateur réciproque permettant de passer de V₁ à V₀ est :

{CM}_{réciproque} = \frac{1}{CM} = \frac{1}{1 + \frac{t}{100}}

Le taux d'évolution réciproque est donc égal à :

t_réciproque = (CM_{réciproque - 1)×100 = ( $\frac{1}{CM}$
-1) × 100
=
(
$\frac{1}{1 + \frac{t}{100}}$ -1) × 100}

Exemple :
• Le prix d'un produit a augmenté de 20%. Quel doit être le pourcentage de baisse pour revenir au prix intial ?
Réponse : Lors de l'augmentation, le prix de départ a été multiplié par 1,20, il faut donc multiplier le prix final par

\frac{1}{1,20}

=0,75 pour revenir au prix initial, ce qui correspond à une diminution de 25%.