Définition :
Soit (S) le système d'équations $\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ \mathrm{a\text{'}}x+\mathrm{b\text{'}}y=\mathrm{c\text{'}}\end{array}$
où a, b, c, a', b', c' sont des nombres réels donnés et x et y sont deux nombres réels.
Résoudre le système (S) consiste à trouver tous les couples de réels (x ; y) vérifiant simultanément les deux équations du système.

Interprétation graphique :
Choisissons un repère et notons d et d' les droites d'équations respectives ax+by=c et a'x+b'y=c'.
Résoudre le système (S) revient alors à trouver les coordonnées des points communs aux droites d et d'.
Trois cas peuvent se produire :
• Les droites d et d' sont sécantes : le système (S) admet une unique solution
• Les droites d et d' sont strictement parallèles : le système (S) n'admet aucune solution
• Les droites d et d' sont confondues : le système (S) admet une infinité de solutions

Exemple :
Résoudre le système $\{\begin{array}{c}3x-4y=2\phantom{\text{space}}\text{(1)}\\ x+2y=4\phantom{\text{space}}\text{(2)}\end{array}$
ab' - a'b = 3×2 - (-4)×1 = 6 + 4 = 10 ≠ 0. Les droites d'équation (1) et (2) sont donc sécantes et le système a une unique solution.

Méthode par substitution :
• On exprime une des inconnues en fonction de l'autre à l'aide d'une équation.
A partir de l'équation (2), on peut écrire $x=\mathrm{-2}y+4$
• On remplace $x$ par $\mathrm{-2}y+4$ dans l'autre équation
L'équation (1) devient $3(\mathrm{-2}y+4)-4y=2$
soit $\mathrm{-6}y+\mathrm{12}-4y=2$
d'où $\mathrm{-10}y=\mathrm{-10}$
d'où $y=1$
• On remplace y par 1 dans l'équation (2), on obtient :
$x+2\times 1=4$
d'où $x=2$

Conclusion : le système a pour solution (2;1)

Méthode par combinaisons linéaires :
Le but est de se ramener à une équation à une inconnue en ajoutant les deux équations membre à membre. Pour cela, il faut "annuler" une des inconnues avec des coefficients opposés. Ici, on remarque que dans l'équation (1) on a -4y et dans l'équation (2) on a 2y. En multipliant l'équation (2) par 2, on obtiendra bien deux coefficients opposés.
• On multiplie l'équation (2) par 2, on obtient :
$2x+4y=8$
• On ajoute les deux équations membres à membres, on obtient :
$5x=\mathrm{10}$
d'où $x=2$
• On remplace x par 2 dans l'équation (2) , on obtient :
$2+2y=4$
d'où $y=1$

Conclusion : le système a pour solution (2;1)

Droites strictement parallèles :
Exemple :
Résoudre le système $\{\begin{array}{c}2x-3y=2\phantom{\text{space}}\text{(1)}\\ \mathrm{-4}x+6y=5\phantom{\text{space}}\text{(2)}\end{array}$
ab' - a'b = 2×6 - (-4)×(-3) = 12 - 12 = 0. Les droites d'équation (1) et (2) sont donc parallèles ou confondues, le système n'a pas de solution ou a une infinité de solution.
Pour le savoir, on écrit chacune des équations sous sa forme réduite : $\{\begin{array}{c}y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{6}\end{array}$
Les droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différente, il s'agit donc de droites strictement parallèles et le système n'admet pas de solution.

Droites confondues :
Exemple :
Résoudre le système $\{\begin{array}{c}4x+6y=2\phantom{\text{space}}\text{(1)}\\ 6x+9y=3\phantom{\text{space}}\text{(2)}\end{array}$
ab' - a'b = 4×9 - 6×6 = 36 - 36 = 0. Les droites d'équation (1) et (2) sont donc parallèles ou confondues, le système n'a pas de solution ou a une infinité de solution.
Pour le savoir, on écrit chacune des équations sous sa forme réduite : $\{\begin{array}{c}y=\frac{\mathrm{-2}}{3}x+\frac{1}{3}\\ y=\frac{\mathrm{-2}}{3}x+\frac{1}{3}\end{array}$
Les droites ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine, il s'agit donc de droites confondues et le système admet une infinité de solutions.