Démonstration par récurrence :

Le raisonnement par récurrence est utilisé pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers n à partir d'un certain rang n₀.
On procède par étapes :
• Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang n₀.
• Hérédité : on vérifie que si la propriété est vraie à un certain rang k, alors elle est vraie au rang k+1.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang n₀ et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n≥n₀

Exemples :

1) Soit (U_n) la suite définie par U₀=5 et U_n+1=0,5U_n+4. Montrer par récurrence que U_n≤8 pour tout n≥0.

• Soit P(n) = «U_n≤8»
• Initialisation : U₀=5 et 5≤8 donc P(0) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et U_n≤8 pour tout n≥0.

2) Soit (V_n) la suite définie par V₀=1 et V_n+1=2V_n+3. Montrer par récurrence que V_n=2ⁿ⁺²-3 pour tout n≥0.

• Soit P(n) = «V_n=2ⁿ⁺²-3»
• Initialisation : V₀=1 et 2⁰⁺²-3=2²-3=4-3=1 donc P(0) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et V_n=2ⁿ⁺²-3 pour tout n≥0.

3) Montrer par récurrence que pour tout entier n≥1, $\underset{\mathrm{k=1}}{\overset{n}{\sum <!--SOMME-->}}{k}^2=\frac{\text{n(n+1)(2n+1)}}{6}$.

• Soit P(n) = «$\underset{\mathrm{k=1}}{\overset{n}{\sum <!--SOMME-->}}{k}^2=\frac{\text{n(n+1)(2n+1)}}{6}$»
• Initialisation : $\underset{\mathrm{k=1}}{\overset{1}{\sum <!--SOMME-->}}{k}^2=1$ et $\frac{\text{1(1+1)(2×1+1)}}{6}=1$ donc P(1) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(n) soit vraie pour un certain entier n≥0, on veut montrer que P(n+1) est vraie.
P(n+1) = «$\underset{\mathrm{k=1}}{\overset{\mathrm{n+1}}{\sum <!--SOMME-->}}{k}^2=\frac{\text{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}}{6}$»
$\frac{\text{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}}{6}=\frac{\text{(n+1)(2n²+3n+4n+6)}}{6}=\frac{\text{(n+1)(2n²+7n+6)}}{6}$
Si P(n) est vraie, on a alors :
donc P(n+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=1 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥1 et $\underset{\mathrm{k=1}}{\overset{n}{\sum <!--SOMME-->}}{k}^2=\frac{\text{n(n+1)(2n+1)}}{6}$ pour tout n≥1.

Rappels :
Pour étudier le sens de variations d'une suite, on peut :
• étudier le signe de u_n+1 - u_n
• comparer le quotient $\frac{{\mathrm{u}}_{\text{n+1}}}{{\mathrm{u}}_{\text{n}}}$ à 1 lorsque les termes de la suite sont strictement positifs
• étudier le sens de variation de f si u est définie par u_n = f(n).
Lorsque la suite est définie par une relation de récurrence du type u_n+1 = f(u_n), les méthodes précédentes ne permettent pas toujours de déterminer son sens de variation. On peut alors utiliser le raisonnement par récurrence.

Méthode :
• On peut montrer qu'une suite est croissante en montrant par récurrence que u_n+1≥u_n pour tout n∈ℕ

• On peut montrer qu'une suite est décroissante en montrant par récurrence que u_n+1≤u_n pour tout n∈ℕ


Exemple :

Soit (U_n) la suite définie par U₀=3 et U_n+1=3U_n-4. Montrer par récurrence que (U_n) est croissante.

• Soit P(n) = «U_n+1 ≥ U_n»
• Initialisation : U₀=3 et U₁=3×3-4=5 donc U₁ ≥ U₀ donc P(0) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et U_n+1 ≥ u_n pour tout n≥0, donc la suite (U_n) est croissante.
Remarque : le sens de variation d'une suite dépend de la valeur de son terme initial. Par exemple, si le premier terme de (U_n) était égal à 1, on aurait : U₀=1 et U₁=-1 donc U₀ ≥ U₁. Avec un raisonnement par récurrence, on constate que (U_n) serait décroissante.

Suites minorées, majorées, bornées :

Définitions :
• Une suite (U_n) est majorée par un nombre réel M si U_n ≤ M pour tout n∈ℕ. M est appelé un majorant de la suite (U_n).
• Une suite (U_n) est minorée par un nombre réel m si m ≤ U_n pour tout n∈ℕ. m est appelé un minorant de la suite (U_n).
• Une suite (U_n) est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :


Remarques :
• Si une suite est majorée par un nombre réel M, alors tous les nombres supérieurs à M sont également des majorants de cette suite.
• Si une suite est minorée par un nombre réel m, alors tous les nombres inférieurs à m sont également des minorants de cette suite.

Propriétés :

• Si une suite est croissante, alors elle est minorée par son premier terme.
• Si une suite est décroissante, alors elle est majorée par son premier terme.

Exemples :