Définition :

Une suite u est une fonction définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. L'image de l'entier naturel n par la suite u, noté u(n) ou plus souvent u_n est appelé terme d'indice n ou de rang n de la suite.

Exemple :
Soit u la suite des nombres premiers. On a u₀ = 2, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7 ...

Modes de génération d'une suite :

I) Suite définie par une formule explicite :
Soit f une fonction définie et dérivable sur [0; +∞[. On peut définir une suite u en posant pour tout n de ℕ, u_n = f(n).

Exemple :
Soit u la suite définie sur ℕ par u_n = 3n + 2. En posant f la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = 3x + 2, on a u_n = f(n).
u₀ = 3 × 0 + 2 = 2,
u₄ = 3 × 4 + 2 = 14,
u₁₃ = 3 × 13 + 2 = 41.

II) Suite définie par une relation de récurrence :
On peut définir une suite par les deux données suivantes :
    • le premier terme de la suite
    • une expression d'un terme de la suite en fonction de terme(s) précédent(s).
On dit que la suite est définie par une relation de récurrence.

Exemples :
1) Soit u la suite définie par u₀ = 3 et, pour tout n de ℕ, u_n+1 = 2u_n-4.
Chaque terme de la suite est donc égal au double du terme précédent diminué de 4.
En connaissant u₀, on peut calculer u₁ en utilisant la relation de récurrence :
u₁ = 2u₀ - 4 = 2 × 3 - 4 = 6 - 4 = 2
On peut alors calculer u₂ : u₂ = 2u₁ - 4 = 2 × 2 - 4 = 0
On peut alors calculer u₃ : u₃ = 2u₂ - 4 = 2 × 0 - 4 = -4
etc ...

2) Suite de Fibonacci :
Soit v la suite définie par v₀ = v₁ = 1 et, pour tout n de ℕ^*, v_n+2 = v_n+1+v_n.
Chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents.
En connaissant v₀ et v₁, on peut calculer v₂ :
v₂ = v₁ + v₀ = 1 + 1 = 2
v₃ = v₂ + v₁ = 2 + 1 = 3
v₄ = v₃ + v₂ = 3 + 2 = 5
v₅ = v₄ + v₃ = 5 + 3 = 8
v₆ = v₅ + v₄ = 8 + 5 = 13
etc ...

Sens de variations d'une suite :

Définitions :
• Dire qu'une suite u est strictement croissante signifie que, pour tout entier naturel n, u_n < u_n+1.
• Dire qu'une suite u est strictement décroissante signifie que, pour tout entier naturel n, u_n > u_n+1.
• Dire qu'une suite u est constante signifie que, pour tout entier naturel n, u_n = u_n+1.

Exemples :
1) La suite des nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9, ... est strictement croissante.
2) La suite u définie pour tout n appartenant à ℕ^* par u_n = $\frac{1}{\mathrm{n}}$ : 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ... est strictement décroissante.

/!\ certaines suites ne sont ni décroissantes, ni constantes et ni croissantes, on dit qu'elles sont non monotones.
Exemple : Soit u la suite définie par u_n = (-1)ⁿ : 1, -1, 1, -1, 1, ... n'est ni croissante ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variations d'une suite, on peut :
• étudier le signe de u_n+1 - u_n
• comparer le quotient $\frac{{\mathrm{u}}_{\text{n+1}}}{{\mathrm{u}}_{\text{n}}}$ à 1 lorsque les termes de la suite sont strictement positifs
• étudier le sens de variation de f si u est définie par u_n = f(n).

Exemples :
1) Soit u la suite définie par u₀ = 7 et u_n+1 = u_n + n + 1.
u_n+1 - u_n = u_n + n + 1 - u_n = n + 1 or n + 1 > 0 donc u_n+1 - u_n > 0 d'où u_n+1 > u_n.
u est donc strictement croissante.

2) Soit v la suite définie par v_n = $\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}}}$.
Pour tout n non nul, v_n est strictement positif, on peut utiliser la deuxième méthode.
$\frac{{\text{v}}_{\text{n+1}}}{{\text{v}}_{\text{n}}}=\frac{\text{n + 1}}{2^{\text{n+1}}}\times \frac{2^{\text{n}}}{\text{n}}=\frac{\text{n + 1}}{2\text{n}}$ < 1 pour tout n > 1 donc v est strictement décroissante.

3) Soit w la suite définie par w_n = $\sqrt{\mathrm{n}}$.
w est définie par w_n = f(n) avec f($x$) = $\sqrt{x}$. f est strictement croissante sur ℝ donc la suite w est strictement croissante.