Cours : Primitives

Primitive d'une fonction

Définition :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F définie sur I telle que F' = f

Exemples :
• La fonction F₁:x↦x²+1 est une primitive de la fonction f:x↦2x (car F₁'(x) = f(x))
• La fonction F₂:x↦x²+2 est une primitive de la fonction f:x↦2x (car F₂'(x) = f(x))
Remarque : Comme le montre l'exemple ci-dessous, une fonction admet plusieurs primitives.

Propriété :
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont de la forme F_k(x) = F(x) + k où k est une constante réelle.

Exemple :
La fonction F:x↦x² est une primitive de la fonction f:x↦2x (car F₁'(x) = f(x)). Les primitives de f sont les fonctions F_k:x↦x²+k où k est un nombre réel.

Démonstration :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f
• Soit k un nombre réel. La fonction G = F + k est dérivable (car F est dérivable) et G' = F' = f. Donc G est une primitive de f.
• Réciproquement, soit G une primitive de f. La fonction H = G - F est dérivable (car H est la différence de 2 fonctions dérivables) et H' = G' - F' =f-f = 0. Donc H est une constante et il existe un réel k tel que H = k. D'où G = F + k.

Propriété :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Quel que soit x₀∈I et y₀∈ℝ , il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x₀) = y₀

Exemples :
Soit f:x↦2x. Il existe une unique primitive F de f telle que que F(1) = 4.
En effet, il existe une réel k tel que F(x) = x²+k.
F(1)=4 ⇔ 1²+k=4 ⇔ k = 3.
Donc F(x) = x²+3.

Primitives des fonctions usuelles :

C désigne un nombre réel.

f est définie sur I par f(x)=...	Primitives de f sur I définies par F(x) = ...	Intervalle I
k (avec k ∈ ℝ)	k $x$ + C	ℝ
$x$	$\frac{1}{2} x^{2} + C$	ℝ
$x^{n}$ (avec $n$ un entier strictement positif)	$\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$	ℝ
$\frac{1}{x}$	$\ln x + C$	]0;+∞[
$- \frac{1}{x^{2}}$	$\frac{1}{x} + C$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$- \frac{1}{x^{n}}$ avec n ∈ ℕ et n>1	$\frac{1}{n-1} \frac{1}{x^{n-1}} + C$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2 \sqrt{x}$	]0;+∞[
$sin(x)$	$-cos(x) + C$	ℝ
$cos(x)$	$sin(x) + C$	ℝ
$e^{x}$	$e^{x} + C$	ℝ

Primitives et opérations :

Propriété
Soient f et g deux fonctions admettant respectivement les primitives F et G sur un intervalle I, alors :
• F + G est une primitive de f + g sur I
• pour tout réel k, kF est une primitive de kf sur I.

Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I, C désigne un nombre réel.

Fonction f	Primitives de f sur I	Conditions sur u
$u' u^{n}$ avec n ∈ ℤ\{-1;0}	$\frac{1}{n+1} u^{n+1} + C$	Si n<-1, u(x)≠0 pour tout x ∈ I
$\frac{u'}{u}$	$\ln u + C$	u(x)>0 sur I
$\frac{u'}{u²}$	$\frac{-1}{u} + C$	u(x)≠0 sur I
$u' e^{u}$	$e^{u} + C$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2 \sqrt{u} + C$	u(x)>0 sur I
$(v' \circ u) \times u'$	$v \circ u$	v est une fonction dérivable sur J et u(x) ∈ J pour tout x ∈ I