Suites convergentes :


Propriété : Une suite convergente admet une unique limite.

Démonstration : Nous allons procéder par l'absurde. Soit (U_n) une suite convergente. Supposons qu'il existe deux nombres réels l et l' tels que l<l' et $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=$ l et $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=$ l'. Posons a=$\frac{l+l\text{'}}{2}$.
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=$ l, donc il existe un entier naturel n₁ tel que pour tout n≥n₁, U_n∈]−∞;a[.
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=$ l, donc il existe un entier naturel n₂ tel que pour tout n≥n₂, U_n∈]a;+∞[.
Soit n₀=max(n₁,n₂). Pour tout n≥n₀, U_n∈]−∞;a[∩]a;+∞[, or ]−∞;a[∩]a;+∞[ = Ø, donc l'hypothèse de départ est fausse et la suite (U_n) ne peut avoir deux limites distinctes

Exemple :
Soit (U_n) la suite définie pour tout entier n≥0 par U_n=$3+\frac{1}{\text{n+1}}$. Montrer que (U_n) converge vers 3.

Solution :Soit r>0. On cherche un rang n₀ à partir duquel |U_n-3|<r, c'est à dire |$3+\frac{1}{\text{n+1}}-3$|<r soit |$\frac{1}{\text{n+1}}$|<r c'est à dire $\frac{1}{\text{n+1}}$<r car n>0, d'où n+1>$\frac{1}{\text{r}}$, soit n>$\frac{1}{\text{r}}$-1.
Soit n₀ un entier supérieur à $\frac{1}{\text{r}}$-1, pour tout n≥n₀, |U_n-3|<r. Donc $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=3$

Suites divergentes :

Définitions :

• Une suite qui n'est pas convergente est divergente.





Limites usuelles :

• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\sqrt{n}=$ +∞, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}n=$ +∞, et $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^k=$ +∞ pour k∈ℕ*

• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{\sqrt{n}}=$ 0, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{n}=$ 0, et $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{n^k}=$ 0 pour k∈ℕ*

Soit l et l' deux nombres réels. Le symbole ±∞ signifie «soit +∞ soit −∞». Le sigle F.I signifie «Forme Indéterminée», c'est à dire qu'on ne peut pas conclure.

Somme de limites :

$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n$	l	l	l	+∞	+∞	−∞
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n$	l'	+∞	−∞	+∞	−∞	−∞
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n+V_n$	l+l'	+∞	−∞	+∞	F.I.	−∞

Produit de limites :

$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n$	l	l>0	l>0	l<0	l<0	±∞	0
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n$	l'	+∞	−∞	+∞	−∞	±∞	±∞
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n\times V_n$	l×l'	+∞	−∞	−∞	+∞	±∞	F.I.

Quotient de limites :

$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n$	l	l	±∞	±∞	l≠0	±∞	0
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n$	l'≠0	±∞	l'≠0	±∞	0+ ou 0−	0+ ou 0−	0
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{U_n}{V_n}$	$\frac{l}{l\text{'}}$	0	±∞	F.I.	±∞	±∞	F.I.

Remarques :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n=0^{+}$ signifie que (V_n) converge vers 0 et que V_n>0 à partir d'un certain rang.
$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n=0^{-}$ signifie que (V_n) converge vers 0 et que V_n<0 à partir d'un certain rang.
• Lorsque le résultat est ±∞, on applique la règle des signes pour savoir s'il s'agit de +∞ ou de -∞.
• Lorsqu'on arrive à une Forme Indéterminée, cela ne signifie pas forcément que la suite n'a pas de limite. Il faut chercher à lever l'indétermination en transformant l'écriture de la suite.

Exemples :

1) Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^3+\sqrt{n}-4$
Solution :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^3=\mathrm{+\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\sqrt{n}=\mathrm{+\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-4=-4$.
Par somme, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^3+\sqrt{n}-4=\mathrm{+\infty }$

2) Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^2+\frac{1}{n}$
Solution :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^2=\mathrm{+\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2=-2$.
Par produit, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^2=\mathrm{-\infty }$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^2=\mathrm{-\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{\mathrm{n}}=0$.
Par somme, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^2+\frac{1}{n}=\mathrm{-\infty }$

3) Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{-7-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n^5}}$
Solution :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-7=-7$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{n}=0$,
Par différence, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-7-\frac{1}{n}=-7$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}3=3$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{n^5}=0$,
Par somme, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}3+\frac{1}{n^5}=3$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-7-\frac{1}{n}=-7$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}3+\frac{1}{n^5}=3$
Par quotient, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{-7-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n^5}}=\frac{-7}{3}$

Lever une indétermination :

Méthode 1 : Quand le terme général d'une suite est sous forme polynomiale, on peut lever une indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré.

Exemple :

Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^3+n$
Solution :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^3=\mathrm{-\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}n=\mathrm{+\infty }$, il s'agit d'une Forme Indéterminée.
Factorisons par n³ :
$-2n^3+n=n^3(-2+\frac{1}{n^2})$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2=-2$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{n^2}=0$.
Par somme, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2+\frac{1}{n^2}=-2$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^3=\mathrm{+\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2+\frac{1}{n^2}=-2$,
Par produit, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^3(-2+\frac{1}{n^2})=\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n^3+n=\mathrm{-\infty }$

Méthode 2 : Quand le terme général d'une suite est sous forme rationnelle, on peut lever une indétermination en factorisant le numérateur et leur dénominateur par leur terme de plus haut degré.

Exemple :

Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{3n^2+2}{-2n+1}$
Solution :
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}3n^2+2=\mathrm{+\infty }$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2n+1=\mathrm{-\infty }$, il s'agit d'une Forme Indéterminée.
Factorisons le numérateur par n² et le dénominateur par n :
$\frac{3n^2+2}{-2n+1}=\frac{n^2(3+\frac{2}{n^2})}{n(-2+\frac{1}{n})}=n\frac{3+\frac{2}{n^2}}{-2+\frac{1}{n}}$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}3+\frac{2}{n^2}=3$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-2+\frac{1}{n}=-2$, par quotient $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{3+\frac{2}{n^2}}{-2+\frac{1}{n}}=\frac{-3}{2}$
• $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{3+\frac{2}{n^2}}{-2+\frac{1}{n}}=\frac{-3}{2}$, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}n=\mathrm{+\infty }$, par produit, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}n\frac{3+\frac{2}{n^2}}{-2+\frac{1}{n}}=\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{3n^2+2}{-2n+1}=\mathrm{-\infty }$

Théorème de comparaison :
Soit n₀ un entier naturel. Soit (U_n) et (V_n) deux suites telles que U_n ≤ V_n pour tout n≥n₀.
• Si $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=\mathrm{+\infty }$, alors $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n=\mathrm{+\infty }$.
• Si $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n=\mathrm{-\infty }$, alors $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=\mathrm{-\infty }$.

Exemple :

Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^2+{\text{cos(n)}}^2$
Solution :
$n^2+{\text{cos(n)}}^2$ ≥ $n^2$, or $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^2=\mathrm{+\infty }$, donc $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{n}^2+{\text{cos(n)}}^2=\mathrm{+\infty }$

Théorème des gendarmes :
Soit n₀ un entier naturel. Soit (U_n), (V_n) et (W_n) trois suites telles que U_n ≤ V_n ≤ W_n pour tout n≥n₀ et l un nombre réel.
• Si $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{U}_n=$l et $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{W}_n=$l, alors$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{V}_n=$l.

Exemple :

Déterminer $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}2+\frac{{\text{(-1)}}^{\mathrm{n}}}{n}$
Solution :
$-1\le {\text{(-1)}}^{\mathrm{n}}\le 1$
$\frac{-1}{n}\le \frac{{\text{(-1)}}^{\mathrm{n}}}{n}\le \frac{1}{n}$
$2+\frac{-1}{n}\le 2+\frac{{\text{(-1)}}^{\mathrm{n}}}{n}\le 2+\frac{1}{n}$.
Or $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}2+\frac{-1}{n}=\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}2+\frac{1}{n}=2$.
Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}2+\frac{{\text{(-1)}}^{\mathrm{n}}}{n}=2$

Théorème :
• Une suite croissante et majorée est convergente.
• Une suite décroissante et minorée est convergente.
• Une suite croissante non majorée est divergente vers +∞.
• Une suite décroissante non minorée est divergente vers −∞.

Exemple :
Soit (U_n) la suite définie par U₀=9 et U_n+1=$\sqrt{U_n}$ pour tout entier n≥0. Montrer que 1≤U_n+1≤U_n pour tout entier n≥0, en déduire que U_n est convergente.

Solution :
• Soit P(n) = «1≤U_n+1≤U_n»
• Initialisation : U₀=9 donc U₁=3 et 1≤U₁≤U₀ donc P(0) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et 1≤U_n+1≤U_n pour tout n≥0. Donc (U_n) est décroissante et minorée par 1 donc (U_n) est convergente.

Propriétés :
• Si une suite est croissante et converge vers l, alors elle est majorée par l.
• Si une suite est décroissante et converge vers l, alors elle est minorée par l.

Propriétés :
Soit q un nombre réel
• Si q>1, alors la suite (qⁿ) diverge vers +∞
• Si q=1, alors la suite (qⁿ) converge vers 1
• Si -1<q<1, alors la suite (qⁿ) converge vers 0
• Si q≤-1, alors la suite (qⁿ) diverge et n'admet pas de limite

Exemples :

1) $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{4}^n=\mathrm{+\infty }$ car 4>1
2) $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{\left(\frac{5}{7}\right)}^n=0$ car -1<$\frac{5}{7}$<1
3) ${\left(-3\right)}^n$ n'a pas de limite car -3≤-1

Démonstration :
Inégalité de Bernoulli :
Soit a>0. L'inégalité (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na est vraie pour tout n∈ℕ
On considère la propriété P(n) = «(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na»
• Initialisation : (1 + a)⁰=1 et 1 + 0×a=1 donc P(0) est vraie.
• Hérédité : Supposons que P(k) soit vraie pour un certain entier k≥0. On a alors :

donc P(k+1) est vraie et la propriété est héréditaire.
• Conclusion : la propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout n≥0 et (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour tout n≥0.


Si q>1 : Posons a=q-1, a>0.
qⁿ=(1+a)ⁿ≥ 1 + na , en utilisant l'inégalité de Bernoulli. Or $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}1+na=\mathrm{+\infty }$, donc $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{q}^n=\mathrm{+\infty }$.
Si 0<q<1 :$\frac{1}{q}>1$, donc en utilisant le cas précédent $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{\left(\frac{1}{q}\right)}^n=\mathrm{+\infty }$ et par passage à l'inverse, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{q}^n=0$
Si -1<q<0 : quel que soit n ∈ℕ, $-{\left|q\right|}^n$ ≤$q^n$ ≤${\left|q\right|}^n$, or $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}-{\left|q\right|}^n$=$\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{\left|q\right|}^n$=0 . Donc d'après le théorème des gendarmes, $\underset{\text{n→+∞}}{lim<!--limite-->}{q}^n$=0