Définition :





Définition :
Si une fonction f a pour limite l en +∞ (respectivement en -∞), alors la droite d'équation y=l est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞ (respectivement en -∞).

Exemple :

Limite finie en l'infinie de fonctions usuelles :
$\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{x}=0$, $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$, $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{x^n}=0$, avec n un entier strictement positif
$\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{x}=0$, $\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{x^n}=0$, avec n un entier strictement positif, $\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}{e}^x=0$

Définitions :






Limite infinie en l'infinie de fonctions usuelles :
$\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}x=\mathrm{+\infty }$, $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}\sqrt{x}=\mathrm{+\infty }$, $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}{e}^x=\mathrm{+\infty }$, $\underset{x\text{→+∞}}{lim<!--limite-->}{x}^n=\mathrm{+\infty }$, avec n un entier strictement positif
$\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}x=\mathrm{-\infty }$, $\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}{x}^n=\mathrm{+\infty }$, si n est un entier pair strictement positif , $\underset{x\text{→-∞}}{lim<!--limite-->}{x}^n=\mathrm{-\infty }$, si n est un entier impair strictement positif

Définition :

Soit f une fonction et a un nombre réel.






Exemple :

Soit f et g deux fonctions. Soit l et l' deux nombres réels. Le symbole ±∞ signifie «soit +∞ soit −∞». a désigne un nombre réel ou +∞ ou -∞.
Le sigle F.I signifie «Forme Indéterminée», c'est à dire qu'on ne peut pas conclure.

Limite d'une somme :

$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)$	l	l	l	+∞	+∞	−∞
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}g\left(x\right)$	l'	+∞	−∞	+∞	−∞	−∞
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}(f+g)\left(x\right)$	l+l'	+∞	−∞	+∞	F.I.	−∞

Limite d'un produit :

$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)$	l	l>0	l>0	l<0	l<0	±∞	0
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}g\left(x\right)$	l'	+∞	−∞	+∞	−∞	±∞	±∞
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}\left(fg\right)\left(x\right)$	l×l'	+∞	−∞	−∞	+∞	±∞	F.I.

Limite d'un quotient :

$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)$	l	l	±∞	±∞	l≠0	±∞	0
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}g\left(x\right)$	l'≠0	±∞	l'≠0	±∞	0+ ou 0−	0+ ou 0−	0
$\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}\frac{f}{g}\left(x\right)$	$\frac{l}{l\text{'}}$	0	±∞	F.I.	±∞	±∞	F.I.

Exemple :

Soit f:x ↦ $(x+\frac{3}{x})(2-x)$ définie sur ℝ*. Calculer $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)$
Solution :
• $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}x+\frac{3}{x}=\mathrm{+\infty }$.
• $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}2-x=\mathrm{-\infty }$.
Par produit, $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }$

Définition :
Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F. La composée de f suivie de g est la fonction notée g ○ f définie pour tout x de E par g ○ f(x)=g(f(x))

Remarque : l'ordre des fonctions est important, g ○ f et f ○ g ne sont en général pas les mêmes fonctions.

Exemple :
Soit f et g deux fonctions définies sur ℝ par f(x)=x² et g(x)=x+3.
• Pour tout x ∈ ℝ, g ○ f(x) = g(f(x)) = g(x²) = x²+3
• Pour tout x ∈ ℝ, f ○ g(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)²

Théorème :
Soit f et g deux fonctions. Soient a, b et c trois réels ou +∞ ou -∞.
Si $\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=b$ et $\underset{\text{x→b}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=c$, alors $\underset{\text{x→a}}{lim<!--limite-->}g○f\left(x\right)=c$.

Exemple :
Calculer $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}{\left(\frac{1}{2+x}\right)}^2$
Soit f définie sur ℝ\{-2} par $f\left(x\right)=\frac{1}{2+x}$ et g définie sur ℝ par $g\left(x\right)=x^2$.
$\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{2+x}=0$
$\underset{\text{x→0}}{lim<!--limite-->}g\left(x\right)=\underset{\text{x→0}}{lim<!--limite-->}{x}^2=0$
Donc, par composition, $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}{\left(\frac{1}{2+x}\right)}^2=0$

Théorème de comparaison :

Soient a, b, et c trois nombres réels.

Soit f et g deux fonctions telles que f(x)≤g(x) sur un intervalle ]a;+∞[ de ℝ.

Soit f et g deux fonctions telles que f(x)≤g(x) sur un intervalle ]-∞;a[ de ℝ.

Soit f et g deux fonctions telles que f(x)≤g(x) sur un intervalle ]a;b[ de ℝ et c ∈ ]a;b[.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x + cos(x)
Pour tout nombre réel x ∈ ℝ, -1 ≤ cos(x) ≤ 1, donc x - 1 ≤ f(x) ≤ x + 1
• $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}x-1=\mathrm{+\infty }$ donc $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }$
• $\underset{\text{x→-∞}}{lim<!--limite-->}x+1=\mathrm{-\infty }$ donc $\underset{\text{x→-∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }$

Théorème des gendarmes (encadrement) :

Soient a, b, c et l quatre nombres réels.

Soit f, g et h trois fonctions telles que f(x)≤g(x)≤h(x) sur un intervalle ]a;+∞[ de ℝ.

Soit f, g et h trois fonctions telles que f(x)≤g(x)≤h(x) sur un intervalle ]-∞;a[ de ℝ.

Soit f, g et h trois fonctions telles que f(x)≤g(x)≤h(x) sur un intervalle ]a;b[ de ℝ et c ∈ ]a;b[.

Exemple : Soit f, la fonction définie sur ]0;+∞[ par $f\left(x\right)=\frac{\text{sin(}x\text{)}}{x}$.
Pour tout x ∈ ℝ, -1 ≤ sin(x) ≤ 1 , donc $\frac{-1}{x}\le f\left(x\right)\le \frac{1}{x}$. Or $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{-1}{x}=\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}\frac{1}{x}=0$
Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{\text{x→+∞}}{lim<!--limite-->}f\left(x\right)=\mathrm{+\infty }$