Définition : Une fonction linéaire est une fonction qui traduit une situation de proportionnalité. Soit a un nombre réel quelconque. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui associe à tout nombre réel x le produit a × x.

Exemples : • La fonction f :x ↦ 4x est la fonction linéaire de coefficient 4.

• La fonction f :x ↦ -7x est la fonction linéaire de coefficient -7.

• La fonction f :x ↦ 3x² n'est pas une fonction linéaire.

• La fonction f :x ↦ -4x+3 n'est pas une fonction linéaire.

Images et antécédents :
1) Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire
Exemple :
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = -5x. Calculer l'image de 3 par la fonction f.
Réponse :pour calculer l'image d'un nombre, il suffit de remplacer x par la valeur souhaitée :
f(3) = -5 × 3 = -15, donc l'image de 3 par f est -15.

2) Calculer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
Exemple :
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 6x. Calculer l'antécédent de 48 par la fonction f.
Réponse : pour déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire, il faut résoudre une équation.
Soit x l'antécédent cherché, on a f(x) = 48 autrement dit 6x = 48, soit x = $\frac{48}{6}$ = 8, donc l'antécédent de 48 par f est 8.

Représentation graphique d'une fonction linéraire :
Soit a un nombre réel quelconque. Dans un repère, la fonction linéaire de coefficient a est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
a est le coefficient directeur de la droite :
• Si a est positif, la droite monte.
• Si a est négatif, la droite descend.
• Si a est égal à 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses.

Exemples :

Exercices :
Reconnaître une fonction linéaire
Calculer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
Représentation graphique d'une fonction linéaire
Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire