Cours : Fonctions polynômes de degré 2

Définition :
Soit f une fonction définie sur ℝ.
f est une fonction polynôme de degré 2 si on peut l'écrire sous la forme :
f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont trois réels avec a ≠ 0.
Il s'agit de la forme développée de f(x)
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 3x² - 5x + 2 est une fonction polynôme de degré 2.

Forme canonique :
Une fonction polynôme de degré 2 peut s'écrire sous la forme :
f(x) = a(x - α)² + β où a, α et β sont trois réels avec a ≠ 0.
Il s'agit de la forme canonique de f(x).
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 2(x - 1)² + 3 est une fonction polynôme de degré 2. On peut écrire f sous la forme ax ² + bx + c en développant l'expression précédente :
f(x) = 2(x - 1)² + 3
f(x) = 2(x² - 2x + 1) + 3
f(x) = 2x² - 4x + 2 + 3
f(x) = 2x² - 4x + 5

Forme factorisée :
Une fonction polynôme de degré 2 peut parfois s'écrire sous la forme :
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) où a, x₁ et x₂ sont trois réels avec a ≠ 0.
Il s'agit de la forme factorisée de f(x).
Exemple :
La fonction f définie par f(x) = 2(x + 2)(x - 3) est une fonction polynôme de degré 2. On peut écrire f sous la forme ax ² + bx + c en développant l'expression précédente :
f(x) = 2(x + 1)(x - 3)
f(x) = 2(x² + x - 3x - 3)
f(x) = 2(x² - 2x - 3)
f(x) = 2x² - 4x - 6

Sens de variations :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 dont :
• la forme développée est f(x) = ax² + bx + c
• la forme canonique est f(x) = a(x - α)² + β.

Si a > 0,
f est décroissante sur ]-∞;α] et croissante sur [α;+∞[, où α =

\frac{-b}{2a}

tableau de variations d'une fonction de second degré avec a>0

f admet β comme minimum atteint pour x = α, avec α =

\frac{-b}{2a}

et β = f(α).

Si a < 0,
f est croissante sur ]-∞;α] et décroissante sur [α;+∞[, où α =

\frac{-b}{2a}

f admet β comme maximum atteint pour x = α, avec α =

\frac{-b}{2a}

et β = f(α).

Courbe représentative :
La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthonormé d'origine O est une parabole de sommet S(α ; β) (α =

\frac{-b}{2a}

et β = f(α)).
• Si a>0, la parabole est tournée vers le haut.
• Si a<0, la parabole est tournée vers le bas.

Exemples :

1) La courbe ci-dessous représente la fonction f dont :
• la forme canonique est f(x) = (x - 2)² + 1
• la forme developpée f(x) = x² - 4x + 5.

courbe représentative de la fonction du second degré f(x) = (x - 2)² + 1

On a : a=1, b=-4, c=5, α=2 et β=1.

• a>0, la parabole est tournée vers le haut.

• le sommet S de la parabole a pour coordonnées (2 ; 1) ( c'est à dire (α ; β) )

• la parabole coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 5) ( c'est à dire (0 ; c) )

• la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, f ne peut donc pas s'écrire sous une forme factorisée.

2) La courbe ci-dessous représente la fonction g dont :
• la forme canonique est g(x) = -2(x + 1)² + 8
• la forme developpée g(x) = -2x² - 4x + 6
• la forme factorisée g(x) = -2(x + 3)(x - 1).

courbe représentative de la fonction du second degré g(x) = -2(x + 3)(x - 1)

On a: a=1, b=-4, c=5, α=2, β=1, x₁=-3 et x₂=1.

• a<0, la parabole est tournée vers le bas.

• le sommet S de la parabole a pour coordonnées (-1 ; 8) ( c'est à dire (α ; β) )

• la parabole coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 6) ( c'est à dire (0 ; c) )

• la parabole coupe pas l'axe des abscisses aux points d'abscisses x₁=-3 et x₂=1.