Cours : Fonction dérivée

Fonctions dérivées des fonctions usuelles :

Fonction $f$	Fonction dérivée $f$ '	Intervalles de dérivabilité
$f(x) = c$ (avec c constante)	$f'(x) = 0$	ℝ
$f(x) = x$	$f'(x) = 1$	ℝ
$f(x) =x²$	$f'(x) = 2x$	ℝ
$f(x) =x³$	$f'(x) = 3x²$	ℝ
$f(x) = x^{n}$ (avec $n$ un entier strictement positif)	$f'(x) =n x^{n - 1}$	ℝ
$f(x) = \frac{1}{x}$	$f(x) = \frac{- 1}{x^{2}}$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$f(x) = \frac{1}{x^{n}}$ (avec $n$ un entier strictement positif)	$f'(x) = - \frac{n}{x^{n + 1}}$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$f (x) = \sqrt{x}$	$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$	]0;+∞[
$f(x) = cos(x)$	$f'(x) = -sin(x)$	ℝ
$f(x) = sin(x)$	$f'(x) = cos(x)$	ℝ

Exemples :
1) Soit

f (x) = x^{5}

, alors

f' (x) = 5 x^{4}

2) Soit

f (x) = x^{8}

, alors

f' (x) = 8 x^{7}

Opérations sur les dérivées :
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

1) Dérivée de u + v

La somme u + v de deux fonctions dérivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(u + v)' = u' + v'

Exemple :
Soit

f (x) = x^{2} + x^{3}

, alors

f' (x) = 2 x + 3 x^{2}

2) Dérivée de k × u

Le produit ku, où k est un nombre réel et u une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(ku)' = ku'

Exemple :
Soit

f (x) = 3 x^{2}

, alors

f' (x) = 3 \times 2 x = 6 x

3) Dérivée de u × v
Le produit u × v, où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(uv)' = u'v + uv'

Exemple :
Soit

f (x) = x \sqrt{x}

f

est de la forme u × v avec u =

x

et v =

\sqrt{x}

donc :

f' (x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}

f' (x) = \sqrt{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2 \sqrt{x}}

f' (x) = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}

f' (x) = \frac{3 \sqrt{x}}{2}

4) Dérivée de u²
Le fonction u², où u est une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I et :

(u²)' = 2u'u

Exemple :
Soit

f (x) = {(4 x + 3)}^{2}

f

est de la forme u² avec u =

4 x + 3

, donc :

f' (x) = 2 \times 4 \times (4 x + 3)

f' (x) = 8 (4 x + 3)

f' (x) = 32 x + 24

5) Dérivée de $\frac{u}{v}$
Le quotient

\frac{u}{v}

, où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, avec v(x) ≠ 0 pour tout x de I, est une fonction dérivable sur I et :

( $\frac{u}{v}$ )' = $\frac{u'v - uv'}{v²}$

Exemple :
Soit

f (x) = \frac{- 2 x + 1}{x - 3}

f

est de la forme

\frac{u}{v}

avec u =

- 2 x + 1

et v =

x - 3

. donc :

f' (x) = \frac{- 2 \times (x - 3) - (- 2 x + 1) \times 1}{{(x - 3)}^{2}}

f' (x) = \frac{- 2 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}

f' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}

6) Dérivée de $\frac{1}{v}$
Le quotient

\frac{1}{v}

, où v est une fonction dérivable sur un intervalle I, avec v(x) ≠ 0 pour tout x de I, est une fonction dérivable sur I et :

( $\frac{1}{v}$ )' = $\frac{- v'}{v²}$

Exemple :
Soit

f' (x) = \frac{1}{3 x - 2}

f

est de la forme

\frac{1}{v}

avec v =

3 x - 2

, donc

f' (x) = \frac{- 3}{{(3 x - 2)}^{2}}

Opération	Fonction $f$	Fonction dérivée $f$ '
Somme	u + v	u' + v'
Produit par un réel k	ku	ku'
Produit	u × v	u'v + v'u
Carré	u × u = u²	2u'u
Quotient (avec v ne s'annulant pas sur I)	$\frac{u}{v}$	$\frac{u'v - uv'}{v²}$
Inverse (avec u ne s'annulant pas sur I)	$\frac{1}{u}$	$\frac{- u'}{u²}$