Cours : Equations différentielles

Définitions :
• Une équation différentielle est une égalité reliant une fonction dérivable et sa dérivée.
• Une solution d'une équation différentielle est une fonction qui vérifie cette égalité

Exemples :

1) On considère l'équation differentielle y' = 2x.
La fonction

f

définie sur ℝ par

f (x) = x^{2}

est une solution de cette équation différentielle car

f' (x) = 2 x

2) On considère l'équation differentielle y' = 2y.
La fonction

g

définie sur ℝ par

g (x) = e^{2 x}

est une solution de cette équation différentielle. En effet,

g' (x) = 2 e^{2 x} = 2 g (x)

Propriété : équation différentielle y' = ay
Soit a un nombre réel non nul. Les solutions sur ℝ de l'équation y' = ay sont les fonctions

g

définie sur ℝ par

x \mapsto C e^{a x}

, où C est une constante réelle.

Exemple :

• On considère l'équation différentielle y' = 5y.
La fonction

f

définie sur ℝ par

f (x) = 3 e^{5 x}

est une solution de cette équation différentielle. En effet,

f' (x) = 3 \times 5 e^{5 x} = 5 f (x)

La fonction

g

définie sur ℝ par

g (x) = -7 e^{5 x}

est une autre solution de cette équation différentielle. En effet,

g' (x) = -7 \times 5 e^{5 x} = 5 g (x)

Remarque :

Si f et g sont deux fonctions sont deux solutions de l'équation différentielle y' = ay, alors les fonctions f + g et kf (où k est un nombre réel) sont également solutions de cette équation.

Exemples :

• Dans l'exemple précédent , la fonction

f + g

définie sur ℝ par

(f + g) (x) = -4 e^{5 x}

est bien solution de l'équation différentielle y' = 5y.
• De même, la fonction

2 f

définie sur ℝ par

(2 f) (x) = 6 e^{5 x}

est bien solution de l'équation différentielle y' = 5y.

Propriétés : équation différentielle y' = ay + b
Soient a et b deux nombres réels non nuls. On considère l'équation (E):y' = ay + b.
• (E) admet une unique solution particulière une unique solution particulière constante, qui est la fonction

x \mapsto \frac{-b}{a}

• Les solutions de (E) sur ℝ sont les fonctions

x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}

, où C est une constante réelle.
• Quels que soient les nombres réels x₀ et y₀, l’équation (E) admet une unique solution g vérifiant la condition initiale g(x₀)= y₀.

Exemple :

On considère l'équation differentielle (E): y' = -y + 3. Déterminer les solutions de (E), puis la solution g de (E) vérifiant g(0) = 1
• La fonction

x \mapsto 3

est la solution particulière constante de (E)
• Les solutions de (E) sur ℝ sont les fonctions

x \mapsto C e^{-x} + 3

, où C est une constante réelle.
• Soit g la solution de (E) vérifiant g(0) = 1.

g (x) = C e^{-x} + 3

g (0) = 1

donc

C e^{0} + 3 = 1

d'où

C = -2

.
Donc

g (x) = -2 e^{-x} + 3

Propriété : équation différentielle y' = ay + f
Soient a un nombre réel et f une fonction définie sur un intervalle I. On considère l'équation (E):y' = ay + f. Soit g une solution particulière de (E) sur I.
Les solutions de (E) sur I sont les fonctions

x \mapsto C e^{a x} + g (x)

, où C est une constante réelle.

Exemple :

On considère l'équation differentielle (E): y' = -y + x². Vérifier que la fonction

x \mapsto x^{2} - 2 x + 2

définie sur ℝ est une solution de (E), puis en déduire l'ensemble des solutions de (E) sur ℝ.
• Soit g la fonction définie sur ℝ par

g (x) = x^{2} - 2 x + 2

. On a :

g' (x) = 2 x + 2

-g (x) + x^{2} = 2 x + 2

donc

g' (x) = -g (x) + x^{2}

, donc g est bien une solution de (E).
• Les solutions sur ℝ de (E) sont donc les fonctions

x \mapsto C e^{-x} + x^{2} - 2 x + 2

, où C est une constante réelle.