Sens de variations :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
• Si f'(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
• Si f'(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.

Exemples :
1) Soit f la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)=5x^3$.
$f\text{'}\left(x\right)=5\times 3x^2=15x^2$
f' est positive sur ℝ donc f est croissante sur ℝ.

2) Soit f la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)=-2x^2+4x-7$.
$f\text{'}\left(x\right)=-2\times 2x+4=-4x+4$
$f\text{'}\left(x\right)$ est positif sur ]-∞ ; 1[ et négatif sur ]1 ; +∞[ donc f est croissante sur ]-∞ ; 1[ et décroissante sur ]1 ; +∞[.

Extremum local :

Définition :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et c un nombre de I.
Dire que f(c) est un maximum local de f signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) ≤ f(c)
Dire que f(c) est un minimum local de f signifie qu'il existe un intervalle ouvert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x de J, f(x) ≥ f(c)
Dire que f(c) est un extremum local de f signifie que f(c) est un maximum local ou un minimum local.

Exemple :
La courbe Cf ci-dessous représente une fonction f définie sur [-5;5].

Propriété :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et c un nombre de I.
Si f admet un extremum local en c, alors f'(c)=0.

Exemple :
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f\left(x\right)=x^2+4x-1$.
$f\text{'}\left(x\right)=2x+4$
$f\text{'}\left(x\right)$ est négatif sur ]-∞ ; -2[ et positif sur ]-2 ; +∞[.

f(-2) = -5 est un extremum local de f donc f'(-2)=0.

/!\ la réciproque est fausse.
Exemple : Soit f définie par f(x) = x³. f'(x) = 3x² donc f'(0)=0 or f n'admet pas d'extremum local en 0.