Cours : Trigonométrie

Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu :
Dans un triangle rectangle,
• le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
• le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
• la tangente d'un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.

Si ABC est un triangle rectangle en C, on a :

cos(\hat{A}) = \frac{Côté adjacent à l'angle\hat{A}}{Hypoténuse} = \frac{AC}{AB}

sin(\hat{A}) = \frac{Côté opposé à l'angle\hat{A}}{Hypoténuse} = \frac{BC}{AB}

tan(\hat{A}) = \frac{Côté opposé à l'angle\hat{A}}{Côté adjacent à l'angle} = \frac{BC}{AC}

Exemple :

cos(

\hat{A}

) =

\frac{AC}{AB}

sin(

\hat{A}

) =

\frac{BC}{AB}

tan(

\hat{A}

) =

\frac{BC}{AC}

Méthode de mémorisation :
Pour se rappeler de ces trois formules, on peut simplement retenir SOCATO / HHA :

Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur :

Exemple :
EFG est un triangle rectangle en F tel que

\hat{E}

= 50° et FG = 4cm.
Calculer une valeur approchée de la longueur du segment [EG].

Dans le triangle EFG rectangle en F, on connait la mesure de l'angle

\hat{E}

et la longueur de son côté opposé [FG]. On cherche la longueur de l'hypoténuse [EG]. La formule reliant le côté opposé et l'hypoténuse est celle du sinus, il faut donc utiliser cette formule.

sin(

\hat{E}

) =

\frac{FG}{EG}

donc EG =

\frac{FG}{sin(\hat{E})}

donc EG = 4 ÷ sin(50)
or sin(50) ≈ 0,766 donc
EG ≈ 5,22 cm

Utiliser la trigonométrie pour calculer la mesure d'un angle :

Exemple :
PQR est un triangle rectangle en R tel que QR = 3,3 cm et PR = 5,5 cm.
Calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle

\hat{P}

.

Dans le triangle PQR rectangle en R, on cherche la mesure de l'angle

\hat{P}

. On connait la longueur de son côté opposé [QR] et la longueur de son côté adjacent [PR]. La formule reliant le côté opposé et le côté adjacent est celle de la tangente, il faut donc utiliser cette formule.

tan(

\hat{P}

) =

\frac{QR}{PR}

donc tan(

\hat{P}

) =

\frac{3,3}{5,5} = 0,6

Pour trouver la mesure de l'angle, il faut utiliser la touche atan ou tan^-1 de la calculatrice, on obtient :

\hat{P}

= tan^-1(0,60) ≈ 30,96°

Deux formules de trigonométrie :

Soit

\hat{a}

un angle aigu d'un triangle rectangle.

1) cos²(

\hat{a}

) + sin²(

\hat{a}

) = 1

2) tan(

\hat{a}

) =

\frac{sin(\hat{a})}{cos(\hat{a})}

Exercices :
Reconnaître le côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu dans un triangle rectangle
Sinus, cosinus et tangente de l'un des angles aigus d'un triangle rectangle
Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle en utilisant la trigonométrie
Calculer la mesure d'un angle en utilisant la trigonométrie