Cours : Racine carrée

Cours de maths : Racine carrée

Définition :
Soit a un nombre positif.
La racine carrée de a (notée

\sqrt{a}

) est le nombre positif dont le carré est égal à a.

Exemples :

\sqrt{9} = 3

car

3^{2} = 9

.

b)

\sqrt{25} = 5

car

5^{2} = 25

.

c)

\sqrt{81} = 9

car

9^{2} = 81

Propriétés :
Soit a un nombre positif, on a :

{(\sqrt{a})}^{2} = a

\sqrt{a^{2}} = a

Exemples :

{(\sqrt{7})}^{2} = 7

{(\sqrt{\frac{13}{8}})}^{2} = \frac{13}{8}

{(\sqrt{6,75})}^{2} = 6,75

\sqrt{13^{2}} = 13

\sqrt{{52,8}^{2}} = 52,8

.

f)

\sqrt{46^{2}} = 46

Équations de la forme :

x^{2} = a

Soit a un nombre positif.
Les solutions de l'équation

x^{2} = a

sont

\sqrt{a}

- \sqrt{a}

.
Cas particulier : L'équation

x^{2} = 0

admet 0 pour unique solution.

Exemples :

a) Les solutions de l'équation

x^{2} = 36

sont

\sqrt{36}

- \sqrt{36}

, c'est à dire 6 et -6.

b) Les solutions de l'équation

x^{2} = 19

sont

\sqrt{19}

- \sqrt{19}

.

c) L'équation

x^{2} = -3

n'admet aucune solution car -3 est négatif.

Multiplication et division :
Soient a et b deux nombres positifs. On a :
1)

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

(La racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées)

2) De plus, si b≠0,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

(La racine carrée d'un quotient est égale au quotient des racines carrées)

Exemples :

\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}

\sqrt{5} \times \sqrt{7} = \sqrt{5 \times 7} = \sqrt{35}

\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}

\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3