Définitions :
• Une inéquation est une inégalité qui comporte un nombre inconnu.
• Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les solutions de cette inéquation.

Résolution :
Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue on peut :
• ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation.
• multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un même nombre strictement positif sans changer le sens de l'inégalité.
• multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un même nombre strictement négatif en changeant le sens de l'inégalité.

Exemples :
a) Résoudre l'inéquation $4x+3\le 11$.

$4x+3\le$ $4x+3-3\le$ $4x\le$ $\frac{4x}{4}\le$ $x\le$

$11$ $11-3$ $8$ $\frac{8}{4}$ $2$

(on soustrait $3$ à chaque membre)  (on divise chaque membre par $4$ : puisque 4 est positif, on conserve le sens de l'inégalité !)

Les solutions de l'inéquation $4x+3\le 11$ sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$.
On représente l'ensemble solution sur une droite graduée :

La partie rouge représente les solutions. Le crochet tourné vers la partie rouge indique que 2 fait partie des solutions.

b) Résoudre l'inéquation $2x-13<5x-4$.

$2x-13<$ $2x-13-5x<$ $-3x-13<$ $-3x-13+13<$ $-3x<$ $\frac{-3x}{-3}>$ $x>$

$5x-4$ $5x-4-5x$ $-4$ $-4+13$ $9$ $\frac{9}{-3}$ $-3$

(on soustrait $5x$ à chaque membre) (on ajoute $13$ à chaque membre) (on divise chaque membre par $-3$ : /!\puisque -3 est négatif, on change le sens de l'inégalité ! )

Les solutions de l'inéquation $2x-13<5x-4$ sont tous les nombres strictement supérieurs à $-3$.
On représente l'ensemble solution sur une droite graduée :

La partie rouge représente les solutions. Le crochet tourné vers la partie qui n'est pas en rouge indique que -3 ne fait pas partie des solutions.