Cours : Résoudre une inéquation produit ou quotient

Cours de maths : Résoudre une inéquation produit et une inéquation quotient

Signe d'un produit :
Pour étudier le signe d'un produit du type (ax+b)(cx+d) :
1) On résout chaque équation ax + b = 0 et cx + d = 0 et on note les solutions par ordre croissant dans la première ligne du tableau.
2) On note les signes de ax + b et de cx + d en utilisant le signe d'une fonction affine.
3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne (le produit de deux nombres de même signe est positif, le produit de deux nombres de signes contraires est négatif)

Exemple : Étude du signe de (-3x+15)(7+x).

x	-∞	-7		5	+∞
Signe de -3x+15	+		+	0	-
Signe de 7+x	-	0	+		+
Signe de (-3x+15)(7+x)	-	0	+	0	-

1) -3x+15=0⇔-3x=-15⇔x=5
7+x=0⇔x=-7
On place -7 et 5 dans la première ligne du tableau

2) x ↦ -3x+15 est décroissante car -3<0 donc elle est d'abord positive (+) puis négative (-).
x ↦ 7+x est croissante car 1>0 donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+).

3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne

Signe d'un quotient :
Pour dresser le tableau de signes d'un quotient du type

\frac{a x + b}{c x + d}

, on procède comme dans le cas d'un produit mais on ajoute sur la dernière ligne une double barre sous la valeur qui annulle le dénominateur (valeur interdite) pour indiquer que le dénominateur doit être différent de 0.

Exemple : Étude du signe de

\frac{2 x - 6}{x + 4}

x	-∞	-4		3	+∞
Signe de 2x-6	-		-	0	+
Signe de x+4	-	0	+		+
Signe de $\frac{2 x - 6}{x + 4}$	+		-	0	+

1) 2x-6=0⇔x=3 et x+4=0⇔x=-4
On place -4 et 3 dans la première ligne du tableau

2) x ↦ 2x-6 est croissante (car 2>0) donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+).
x ↦ x+4 est croissante (car 1>0) donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+).

3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne et on ajoute une double barre sous -4 dans la dernière ligne pour montrer que le dénominateur ne paut pas être égal à 0.

Résoudre une inéquation produit ou une inéquation quotient :
Pour résoudre une inéquation produit ou quotient :
1) On dresse le tableau de signe de l'expression
2) On repère sur la dernière ligne le signe voulu
3) On note l'ensemble solution sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles en faisant attention au sens des crochets.

Exemple : Résoudre l'inéquation

\frac{2 x - 6}{x + 4}

≥ 0

x	-∞	-4		3	+∞
Signe de 2x-6	-		-	0	+
Signe de x+4	-	0	+		+
Signe de $\frac{2 x - 6}{x + 4}$	+		-	0	+

1) On dresse le tableau de signes de

\frac{2 x - 6}{x + 4}

2) On lit sur la dernière ligne que

\frac{2 x - 6}{x + 4}

est supérieur ou égal à 0 lorsque x < -4 et lorsque x ≥ 3

3) L'ensemble solution S de l'inéquation est donc :
S = ]-∞ ; -4[ U [3 ; +∞[.